Bon, alors un début d'auto-réponse.
Vu que ce fameux "courant machin à froid" semble lié à l'intensité, je me suis renseigné sur l'intensité et voilà ce que j'ai trouvé :
L'ampérage est un abus de langage, car il est souvent exprimé en Ah (ampère heure) ce qui correspond non pas à une intensité (vive M. Ampère) mais à une charge (vive M. Coulomb). Quand on lit par exemple 75Ah cela veut dire que la batterie pourrait (théoriquement) délivrer un courant de 75A pendant une heure avant d'être "à plat" (ce qui est pareil que 35.5 A pendant 2h, etc...)
En général ce chiffre est complété par un courant max, par exemple 400A, ce qui montre la limite de débit maximum de la batterie. Cela veut dire qu'on peut au maximum espérer une intensité de 400A en sortie (au passage, pour 75Ah, ça donnerait environ 11 minutes de fonctionnement). En réalité on peut espérer plus, mais on risque alors de détruire la batterie.
Pour une voiture, l'ampérage donne une idée de la durée de vie de la batterie: plus le chiffre est important, moins une "décharge" due par exemple au démarrage du moteur qui consomme quelques "Ah" aura d'effet sur la batterie. En gros la batterie sera capable sans recharge d'assurer un certain nombre de démarrages, d'autant plus que son ampérage est grand.
L'intensité max donne une idée de ce que la batterie peut délivrer pour lancer le démarreur. Plus le moteur est gros, plus le démarreur sera gourmand et donc plus il faudra une intensité max importante.
Les Diesels sont souvent plus exigeants que les essence sur ces aspects de batterie, d'abord parce qu'il leur faut un préchauffage (consomme pas mal de charge), ensuite parce que pour lancer le moteur il faut une intensité max plus élevée en raison de moteurs plus difficiles à lancer.
Les batteries utilisaient jusqu'à présent pas mal de métaux pas sympas (cadmium, plomb), aujourd'hui on a réduit leur utilisation (le plomb reste quand même majoritairement employé, d'où le poids des batteries). Autrefois les batteries devaient être re-remplies parce que la réaction chimique entre l'acide et les électrodes dégageait à la fois de la chaleur et des gaz issus de conversion de l'eau. Maintenant on parle de batteries étanches, voire "sèches". Après j'en sais pas beaucoup plus sur la chimie exacte des nouvelles batteries.